Magiske mønstre
7. juni 2016

Fikspunktfascinasjon

(Publisert i Aftenposten tirsdag 7. juni 2016.)

Jeg er uendelig fascinert av såkalte fikspunkt. Min fascinasjon kommer ikke fra et bestemt matematisk resultat eller faktum, men heller fra skjønnheten i selve begrepet. Selv om det er et ekstremt nyttig begrep i både matematikk og informatikk (det brukes for eksempel i analysen av programmeringsspråk), har det en egenverdi og karakter som jeg er grenseløst betatt av.

Det er et godt eksempel på et matematisk begrep fra «høyere» eller mer «avansert» matematikk som er abstrakt og kraftig, men ikke spesielt vanskelig å forstå. I videoen over forsøker jeg å forklare på en enkel måte hva et fikspunkt er. Ta en titt!

Hva er egentlig et fikspunkt?

Forestill deg at du har en hammer, en spiker og en vegg. Vi kan se på det å banke spikeren inn i veggen som det å anvende en matematisk funksjon. Etter en stund er spikeren helt inne, og da har det ingen effekt å hamre mer. Eller du kan hysje på elevene i et klasserom; etter hvert vil alle (forhåpentligvis) være stille, og da har hysjingen ingen effekt lenger. Da har du kommet til det såkalte fikspunktet.

Foto: COLOURBOX
Foto: COLOURBOX

Eller forestill deg at du har to helt identiske ruteark. Ta ett av rutearkene og krøll det sammen til en ball. Hvis du nå legger den sammenkrøllede ballen oppå det andre arket, må det finnes et punkt som ligger rett over seg selv. Det vil si at det er et punkt på det sammenkrøllede arket som har et tilsvarende punkt på arket under. Dette punktet kalles også et fikspunkt. Uansett hvordan du krøller sammen arket, vil det alltid eksistere minst ett fikspunkt som dette.

Foto: COLOURBOX
Foto: COLOURBOX

Må det alltid finnes fikspunkt som dette? I tilfellet med spikeren og rutearkene er svaret ja. Dette er også tilfelle i mange andre tilsvarende situasjoner.

Fikspunktteoremer

I matematikk og informatikk finnes det mange spennende resultater om fikspunkt, og disse kalles vanligvis for fikspunktteoremer. Generelt sett er et teorem en sann matematisk påstand som man har klart å finne et matematisk bevis for. Fikspunktteoremene sier vanligvis at en bestemt matematisk funksjon har et fikspunkt under gitte betingelser.

Ett av de mest kjente fikspunktteoremene er Brouwers fikspunktteorem, oppkalt etter den nederlandske matematikeren og filosofen L.E.J. Brouwer (1881–1966). Dette sier veldig forenklet at hvis du rører rundt i en kopp med kaffe, vil det alltid være minst ett punkt som ikke har flyttet seg i forhold til utgangspunktet.

Foto: COLOURBOX
Foto: COLOURBOX

Et visuelt bevis for at fikspunkt finnes

La oss gjøre et eksperiment med et rektangel som dette.

Vi lager nå en kopi av rektanglet som er litt mindre. Nedenfor har vi laget et rektangel som er nøyaktig 61,80339% (fordi hvorfor ikke?) så stort som originalen, og vi har plassert dette oppå originalen.

Vi har nå en situasjon hvor det må finnes et fikspunkt! Dette er punktet som «ligger oppå seg selv» og som ikke har flyttet seg i forhold til utgangspunktet. Hvis vi ser for oss at det opprinnelige rektanglet består av punkter eller koordinater, og at alle disse også er i det mindre rektanglet, så må minst ett av disse punktene være nøyaktig over sitt tilsvarende punkt på rektanglet under.

Vi kan gi et visuelt bevis for eksistensen av fikspunktet ved å fortsette denne prosessen med å ta mindre og mindre kopier på den samme måten. Fikspunktet ligger nøyaktig på det stedet hvor alle bildene forsvinner innover. Kan du se hvor fikspunktet ligger?

Vi kan også gjøre akkurat det samme med et skjermbilde fra videoen. Først definerer vi en transformasjon av bildet på samme måte som over:

Ved å gjenta denne transformasjonen mange ganger, får vi følgende bilde!

Begreper og forståelse i matematikk

Matematikk handler dypest sett om idéer, mønstre og begreper – ikke bare språk, regning og regler, slik som så mange feilaktig tror. Ett slik begrep er fikspunktet til en matematisk funksjon.

Et relatert begrep er det om uendelighet. Du la kanskje merke til at for å nå helt frem til fikspunktet i transformasjonene over, måtte vi ha gjentatt prosessen uendelige mange ganger? Dette er et vanlig fenomen i matematikk, og det har ledet til begreper som konvergens, grense og mange andre.

Det er verdt å gruble over begreper som dette, og begrepet fikspunkt er ett av de vakreste i all matematikk. Hva er ditt favorittfikspunkt?

av Roger Antonsen