Magiske mønstre
14. mars 2016

Gratulerer med π-dagen!

(Publisert i Aftenposten 14. mars 2016.)

Tallet π er med rette et myteomspunnet, velkjent og berømt tall. Mange har et nesten religiøst forhold til dette tallet, og mange mener at det er det aller vakreste og mest spesielle tallet som finnes. Men, hvis vi tenker etter, er det egentlig spesielt? Det er jo bare ett av mange andre tall. Og det ligger pent plassert på tallinjen, side om side med de andre tallene:

Et forholdstall

Hvis du spør en tilfeldig valgt person om hva π er, får du nesten garantert svaret «tre komma fjorten». Men denne assosiasjonen er i beste fall misvisende. Det er riktig at π kan rundes av til 3,14, men egentlig er π bare et forholdstall.

Jeg kan ikke få sagt det nok; det er et forholdstall. Det vil si at det er definert som et forhold mellom to størrelser.

På akkurat samme måte som forholdet mellom lengden og bredden på et A4-ark alltid er lik kvadratroten av to, er forholdet mellom diameteren og omkretsen på en sirkel alltid lik π. Dette er definisjonen av π. Det er altså ingen som har satt seg ned og definert π som tallet 3,14. (Selv om den amerikanske delstaten Indiana kom farlig nær å definere π som 3,2 i 1897.)

Symbolet π representerer et forhold mellom størrelser, og det har vært i bruk som dette siden matematikeren Leonard Euler gjorde det populært på midten av 1700-tallet. Hvis du tar en sirkel, uansett hvor liten eller stor den er, og måler hvor lang omkretsen er i forhold til hvor lang diameteren er, får du alltid π.

Sekskantede hjul

Hvis du virkelig insisterer på å omdefinere π, for eksempel til 3, kan du godt gjøre det, men da må du nok også gå med på at alle sirkler ser ut som regulære sekskanter.

Hvis du har en sekskant som her, blir forholdet mellom omkretsen og diameteren, altså π, lik 3.

Et uendelig tall?

Jeg hører nå og da folk si at «π er uendelig». Det er jo litt rart, for π er like endelig som et hvilket som helst annet tall mellom 3 og 4. Det som menes er at hvis du skriver ut alle desimalene, kan du fortsette i det uendelige uten at det dukker opp et gjentakende mønster.

Hvis vi begynner, ser π slik ut:

3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999...

Fra og med desimal nummer 762 kommer det hele seks ni-ere på rad! En kjent π-vits går ut på at man kan memorere alle sifrene til hit, og så fortsette «ni, ni, ni, ni, ni, ni, og så videre». En vandrehistorie sier at fysikeren Richard Feynman (1918–1988) kommenterte på akkuret dette i en av sine forelesninger, og disse seks like sifrene refereres derfor ofte til som Feynmanpunktet.

Ikke et rasjonalt tall

Grunnen til at sifrene ikke gjentar seg eller danner et mønster, er at π ikke er et såkalt rasjonalt tall. Dette ble bevist av matematikeren Johann Heinrich Lambert i 1761. Det betyr kort fortalt at det ikke går an å skrive π som en brøk.

Det finnes ingen heltall A og B slik at π = A/B. Brøkene 22/7 og 355/113 er gode tilnærminger, og selv om vi kan komme vilkårlig nær med brøker, vi vil aldri kunne komme helt frem.

Men, det er ganske irrelevant akkurat hvordan vi skriver ned π. Akkurat som det er mange måter å skrive ned tallet 4 på (FIRE, four, 4, 2+2, IV, 1111, 100, 11, 10...), er det uendelig mange måter å skrive ned tallet π på. Det viktige er hvordan π er definert.

π-rekorder

Besettelsen rundt tallet π har også gitt seg utslag i mange rekorder. For eksempel klarte inderen Rajveer Meena å resitere 70 000 desimaler i mars 2015. Det er den nåværende verdensrekorden. Og hvor mange desimaler har vi klart å regne ut? I oktober 2014, etter 208 dager med utregninger, ble en ny rekord satt: π har nå blitt regnet ut til 13,3 billioner – det vil si 13 300 000 000 000 – desimaler.

Hvor mange desimaler trenger man egentlig? Sannsynligvis aldri mer enn ti. Og hvis du har 39 desimaler, kan du regne ut universets volumet til størrelsen av et atom.

Fargelegginger av π

Jeg liker å programmere, og for en stund siden laget jeg et program som byttet ut alle desimalene i π med farger. Da fikk jeg følgende. Her ser du 1160 desimaler. (Ser du Feynmanpunktet?)

Her ser du 7500 desimaler:

Det er ingen som har klart å finne noe mønster i dette bildet, og det er ingen som vet om det er like mye av hver farge, hvis man fortsetter å tegne i det uendelige.

Gratulererer med π-dagen, 14. mars!

av Roger Antonsen